概率论与数理统计必考大题：假设检验（附例题详解）

在概率论与数理统计的考试中，假设检验是一个非常重要的知识点，尤其是在涉及正态总体均值和方差的检验问题时。本文将从基本概念出发，结合常见的三类检验方法（Z检验、t检验、卡方检验），通过典型例题详细讲解解题步骤。

一、什么是假设检验？

假设检验是根据样本信息对总体参数进行推断的一种统计方法。其核心思想是：

提出原假设 H0H_0H0​ 和备择假设 H1H_1H1​在一定的显著性水平 α\alphaα 下，构造一个合适的检验统计量计算统计量的值，并判断是否落入拒绝域得出结论：是否拒绝原假设

二、常见正态总体参数的检验法汇总表（显著性水平为 α\alphaα）

检验类型σ2\sigma^2σ2 已知/未知原假设 H0H_0H0​检验统计量备择假设 H1H_1H1​拒绝域检验均值 μ\muμσ2\sigma^2σ2 已知μ≤μ0\mu \leq \mu_0μ≤μ0​Z=Xˉ−μ0σ/nZ = \frac{\bar{X} - \mu_0}{\sigma / \sqrt{n}}Z=σ/n​Xˉ−μ0​​μ>μ0\mu > \mu_0μ>μ0​z≥zαz \geq z_{\alpha}z≥zα​μ≥μ0\mu \geq \mu_0μ≥μ0​μ<μ0\mu < \mu_0μ<μ0​z≤−zαz \leq -z_{\alpha}z≤−zα​μ=μ0\mu = \mu_0μ=μ0​μ≠μ0\mu \neq \mu_0μ=μ0​∣z∣≥zα/2\vert z \vert \geq z_{\alpha/2}∣z∣≥zα/2​σ2\sigma^2σ2 未知μ≤μ0\mu \leq \mu_0μ≤μ0​t=Xˉ−μ0S/nt = \frac{\bar{X} - \mu_0}{S / \sqrt{n}}t=S/n​Xˉ−μ0​​μ>μ0\mu > \mu_0μ>μ0​t≥tα(n−1)t \geq t_{\alpha}(n-1)t≥tα​(n−1)μ≥μ0\mu \geq \mu_0μ≥μ0​μ<μ0\mu < \mu_0μ<μ0​t≤−tα(n−1)t \leq -t_{\alpha}(n-1)t≤−tα​(n−1)μ=μ0\mu = \mu_0μ=μ0​μ≠μ0\mu \neq \mu_0μ=μ0​∣t∣≥tα/2(n−1)\vert t \vert \geq t_{\alpha/2}(n-1)∣t∣≥tα/2​(n−1)检验方差 σ2\sigma^2σ2μ\muμ 未知σ2≤σ02\sigma^2 \leq \sigma_0^2σ2≤σ02​χ2=(n−1)S2σ02\chi^2 = \frac{(n-1)S^2}{\sigma_0^2}χ2=σ02​(n−1)S2​σ2>σ02\sigma^2 > \sigma_0^2σ2>σ02​χ2≥χα2(n−1)\chi^2 \geq \chi_{\alpha}^2(n-1)χ2≥χα2​(n−1)σ2≥σ02\sigma^2 \geq \sigma_0^2σ2≥σ02​σ2<σ02\sigma^2 < \sigma_0^2σ2<σ02​χ2≤χ1−α2(n−1)\chi^2 \leq \chi_{1-\alpha}^2(n-1)χ2≤χ1−α2​(n−1)σ2=σ02\sigma^2 = \sigma_0^2σ2=σ02​σ2≠σ02\sigma^2 \neq \sigma_0^2σ2=σ02​χ2≥χα/22(n−1)\chi^2 \geq \chi_{\alpha/2}^2(n-1)χ2≥χα/22​(n−1) 或 χ2≤χ1−α/22(n−1)\chi^2 \leq \chi_{1-\alpha/2}^2(n-1)χ2≤χ1−α/22​(n−1)

三、典型例题解析

1. Z检验：特种金属丝折断力检验

题目：

某厂生产特种金属丝的折断力 X∼N(μ,σ2)X \sim N(\mu, \sigma^2)X∼N(μ,σ2)，已知 σ=8N\sigma = 8Nσ=8N，现从该厂生产的一大批特种金属丝中随机抽取16个样品，测得样本均值 xˉ=572.2N\bar{x} = 572.2Nxˉ=572.2N。问这批特种金属丝的平均折断力可否认为是570N？（取显著性水平 α=0.05\alpha = 0.05α=0.05，查表得 z0.025=1.96z_{0.025} = 1.96z0.025​=1.96）

解题步骤：

提出假设：

H0:μ=570H_0: \mu = 570H0​:μ=570H1:μ≠570H_1: \mu \ne 570H1​:μ=570

选择检验类型：

总体服从正态分布，方差已知 → 使用 Z检验

计算检验统计量：

Z=xˉ−μ0σ/n=572.2−5708/16=2.22=1.1

Z = \frac{\bar{x} - \mu_0}{\sigma / \sqrt{n}} = \frac{572.2 - 570}{8 / \sqrt{16}} = \frac{2.2}{2} = 1.1

Z=σ/n​xˉ−μ0​​=8/16​572.2−570​=22.2​=1.1

确定拒绝域：

双侧检验，∣Z∣>z0.025=1.96|Z| > z_{0.025} = 1.96∣Z∣>z0.025​=1.96

得出结论：

∣Z∣=1.1<1.96|Z| = 1.1 < 1.96∣Z∣=1.1<1.96，不拒绝 H0H_0H0​

✅ 结论：在显著性水平 α=0.05\alpha = 0.05α=0.05 下，可以认为这批特种金属丝的平均折断力为570N。

2. t检验：电子元件寿命检验

题目：

某厂生产的某种电子元件的寿命 X∼N(μ,σ2)X \sim N(\mu, \sigma^2)X∼N(μ,σ2)，其中 μ\muμ、σ\sigmaσ 未知。抽取25个样本，得到样本均值 xˉ=1832\bar{x} = 1832xˉ=1832，样本标准差 s=120s = 120s=120。试问：该厂的电子元件平均使用寿命在显著水平 α=0.02\alpha = 0.02α=0.02 下是否可以认为 μ=2000(h)\mu = 2000(h)μ=2000(h)？（查表得 t0.01(24)=2.49t_{0.01}(24) = 2.49t0.01​(24)=2.49）

解题步骤：

提出假设：

H0:μ=2000H_0: \mu = 2000H0​:μ=2000H1:μ≠2000H_1: \mu \ne 2000H1​:μ=2000

选择检验类型：

正态总体，方差未知 → 使用 t检验

计算检验统计量：

t=xˉ−μ0s/n=1832−2000120/25=−16824=−7

t = \frac{\bar{x} - \mu_0}{s / \sqrt{n}} = \frac{1832 - 2000}{120 / \sqrt{25}} = \frac{-168}{24} = -7

t=s/n​xˉ−μ0​​=120/25​1832−2000​=24−168​=−7

确定拒绝域：

双侧检验，∣t∣>t0.01(24)=2.49|t| > t_{0.01}(24) = 2.49∣t∣>t0.01​(24)=2.49

得出结论：

∣t∣=7>2.49|t| = 7 > 2.49∣t∣=7>2.49，拒绝 H0H_0H0​

❌ 结论：在显著性水平 α=0.02\alpha = 0.02α=0.02 下，不能认为该厂电子元件的平均寿命为2000小时。

3. 卡方检验：电池寿命波动性检验

题目：

某厂生产电池寿命 X∼N(μ,5000)X \sim N(\mu, 5000)X∼N(μ,5000)，从一批产品中随机抽取26节电池，测得样本方差 s2=9200s^2 = 9200s2=9200。问能否推断这批电池的寿命波动性较以往有显著变化？（显著性水平 α=0.02\alpha = 0.02α=0.02，查表得 χ0.992(25)=11.525\chi^2_{0.99}(25) = 11.525χ0.992​(25)=11.525，χ0.012(25)=44.314\chi^2_{0.01}(25) = 44.314χ0.012​(25)=44.314）

解题步骤：

提出假设：

H0:σ2=5000H_0: \sigma^2 = 5000H0​:σ2=5000H1:σ2≠5000H_1: \sigma^2 \ne 5000H1​:σ2=5000

选择检验类型：

正态总体，检验方差 → 使用 卡方检验

计算检验统计量：

χ2=(n−1)s2σ02=25×92005000=2300005000=46

\chi^2 = \frac{(n - 1)s^2}{\sigma_0^2} = \frac{25 \times 9200}{5000} = \frac{230000}{5000} = 46

χ2=σ02​(n−1)s2​=500025×9200​=5000230000​=46

确定拒绝域：

双侧检验，若 χ2<11.525\chi^2 < 11.525χ2<11.525 或 χ2>44.314\chi^2 > 44.314χ2>44.314，则拒绝 H0H_0H0​

得出结论：

χ2=46>44.314\chi^2 = 46 > 44.314χ2=46>44.314，落在拒绝域内

❌ 结论：在显著性水平 α=0.02\alpha = 0.02α=0.02 下，可以认为这批电池的寿命波动性与以往相比有显著变化。

四、总结：假设检验四步走策略

提出假设：明确原假设 H0H_0H0​ 和备择假设 H1H_1H1​定类型，摆公式：根据总体分布、已知条件选择合适的检验方法计算统计量和拒绝域：代入数据，求出统计量并对比临界值下结论：根据统计量是否落在拒绝域内，决定是否拒绝原假设

五、结语

掌握好假设检验的套路，尤其是熟练记忆Z检验、t检验、卡方检验的适用条件和公式，是应对考试大题的关键。建议多做几道类似的题目来巩固理解。

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📌 提示： 文中所有数值均为虚构示例，仅用于教学演示。