海伦公式是初等数学中关于三角形面积的一个公式，它提供了一种直接使用三边长度来计算三角形面积的方法，这个公式历史悠久，相传是古希腊国王 Heron（常译作海伦）二世发现的，古希腊数学家 Archimedes（阿基米德）也给出过证明。我国古代的秦九韶在他的著作也提出了等价的公式（三斜求积公式）。
在凸四边形场合下也有类似公式存在（Brahmagupta 公式），海伦公式可以看作它的特殊情形（四边形有一个边长为零）。
内容[]
假设有三角形
△
A
B
C
{\displaystyle \triangle ABC}
的三边长度分别是
a
,
b
,
c
{\displaystyle a,b,c}
，称
p
=
a
+
b
+
c
2
{\displaystyle p = \dfrac{a+b+c}{2}}
为
△
A
B
C
{\displaystyle \triangle ABC}
的半周长，那么这个三角形的面积
S
=
p
(
p
−
a
)
(
p
−
b
)
(
p
−
c
)
.
{\displaystyle S={\sqrt {p(p-a)(p-b)(p-c)}}.}
我们知道：边边边（SSS）是判断三角形全等的一个方法，上面的公式就给出了这种情况下的三角形面积公式。
如果令
{
x
+
y
=
c
2
,
y
+
z
=
a
2
,
z
+
x
=
b
2
.
{\displaystyle \begin{cases}
x+y = c^2, \\
y+z = a^2, \\
z+x = b^2.
\end{cases}}
那么上述公式变为
S
=
1
2
x
y
+
y
z
+
z
x
.
{\displaystyle S = \dfrac{1}{2}\sqrt{xy+yz+zx}.}
这个形式可以处理三边为二次根式的边长形式。
证明[]
假设
A
{\displaystyle A}
的对边是
a
{\displaystyle a}
，直接计算，并注意到
sin
A
>
0
{\displaystyle \sin A > 0}
得到
S
=
1
2
b
c
sin
A
=
1
2
b
c
1
−
cos
2
A
=
1
2
b
c
1
−
(
b
2
+
c
2
−
a
2
2
b
c
)
2
=
1
4
4
b
2
c
2
−
(
b
2
+
c
2
−
a
2
)
2
=
1
4
4
b
2
c
2
−
b
4
−
c
4
−
a
4
−
2
b
2
c
2
+
2
a
2
c
2
+
2
a
2
b
2
=
1
4
[
(
a
+
b
)
2
−
c
2
]
[
c
2
−
(
a
−
b
)
2
]
=
1
4
(
a
+
b
+
c
)
(
a
+
b
−
c
)
(
a
−
b
+
c
)
(
−
a
+
b
+
c
)
.
{\displaystyle \begin{align}
S & = \dfrac{1}{2} bc \sin A \\
& = \dfrac{1}{2} bc \sqrt{1 - \cos^2 A} \\
& = \dfrac{1}{2} bc \sqrt{1 - \left( \dfrac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc} \right)^2} \\
& = \dfrac{1}{4} \sqrt{4b^2c^2 - (b^2 + c^2 - a^2)^2} \\
& = \dfrac{1}{4} \sqrt{4b^2c^2 - b^4 - c^4 - a^4 - 2b^2c^2 + 2a^2c^2 + 2a^2b^2} \\
& = \dfrac{1}{4} \sqrt{[(a+b)^2 - c^2][c^2 - (a-b)^2]} \\
& = \dfrac{1}{4} \sqrt{(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)}.
\end{align}}
公理化[]
如果我们承认
S
2
{\displaystyle S^2}
是边
a
,
b
,
c
{\displaystyle a,b,c}
的多项式函数，那么上面的面积公式可以被下面几条叙述公理化：
S
2
(
k
a
,
k
b
,
k
c
)
=
k
4
S
2
(
a
,
b
,
c
)
{\displaystyle S^2(ka, kb, kc) = k^4S^2(a, b, c)}
，这表示面积是是关于边长是二次齐次的。
S
2
(
a
,
b
,
c
)
=
S
2
(
a
,
c
,
b
)
=
S
2
(
b
,
c
,
a
)
{\displaystyle S^2(a, b, c) = S^2(a, c, b) = S^2(b, c, a)}
，这表示面积关于每条边是对称的。
lim
c
→
(
a
+
b
)
−
S
2
(
a
,
b
,
c
)
=
0
{\displaystyle \lim_{c \to (a+b)^-}S^2(a, b, c) = 0}
，这一条实际上说的是
a
,
b
,
a
+
b
{\displaystyle a, b, a+b}
组成的图形（三角形的极端情况——线段）是面积为零的，由于
S
2
{\displaystyle S^2}
是多项式函数，极限存在。
S
2
(
1
,
1
,
1
)
=
3
16
.
{\displaystyle S^2(1,1,1) = \dfrac{3}{16}.}
这一条可以换成任意一个三角形的实际面积。
结合2,3条表明：
(
a
+
b
−
c
)
,
(
a
−
b
+
c
)
,
(
−
a
+
b
+
c
)
{\displaystyle (a+b-c), (a-b+c), (-a+b+c)}
是
S
2
{\displaystyle S^2}
的因子，再结合2表明其余一个因子有形式
(
a
+
b
+
c
+
d
)
{\displaystyle (a+b+c+d)}
，其中
d
{\displaystyle d}
是常数，结合1又表明
d
=
0
{\displaystyle d = 0}
，因此
S
2
{\displaystyle S^2}
应有形式
S
2
=
k
(
a
+
b
+
c
)
(
a
+
b
−
c
)
(
a
−
b
+
c
)
(
−
a
+
b
+
c
)
.
{\displaystyle S^2 = k (a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c).}
最后由4可得
k
=
1
16
.
{\displaystyle k = \dfrac{1}{16}.}